キャロルのマジック

草木の枝分かれの数、花びらの枚数、ひまわりやたんぽぽの種の配列数、などの植物を始め、身の回りのいろいろな「数」を規定する部分で大切な要素となっている［フィボナッチ数列］。

アップルや現在のツイッターのロゴマークの収まりが良いのも、マークの曲線を分解してみると、直径がフィボナッチ数列の円で構成されているからだといいます。

このフィボナッチ数列は、F0=0, F1=1, Fn＋２＝Fn＋Fn+1で表され、具体的には、[0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233・・・・]と続く数列です。最初の二項は0、1、以後は、どの項もその前の2つの項の和となります。面倒な話はさておいて、ここでは、そういった数列があることだけをご承知ください。今回は、そのフィボナッチ数列を使ったパズルを、味村ノートから再掲です。

一辺がフィボナッチ数列のある値、例えば[8]の正方形を、その値の直前の２つのフィボナッチ数列の値、[5]と[3]とにより、右の図のように４つの部分に分ける。
次に、これらを切り離して、下の図のよう長辺[13]、短辺[5]の長方形に並べ替える。
元の正方形の面積は 8×8＝64 だが、並べ替えた長方形の面積は 13×5＝65 で、[1]増えている。

さて、 [1]はどうして増えたのか？

増えた［1］の正体

切り離し置き替えたことで面積が[1]増えた 8×8 の正方形の場合について見てみましょう。
前述の通り、8×8 の正方形の中に作成された図形A,B,C,Dを切り離し置き替え、13×5 の長方形が作成されますが、よく見ると、図形A,B,C,Dに囲まれた細長い隙間(赤色部）があることが分かります。このままでは隙間が確認しにくいので、隙間部分をデフォルメしたものが下図下段です。隙間部分PQSRの面積を算出してみましょう。

① tanα＝3/8=0.375でα＝20°36′。
また、tanβ＝2/5＝0.4でβ＝21°48′。
② α＜βだから、P、Q、R、Sは一直線上になく、極端に描くと左図下段のように、隙間（PQRSは極端に細い平行四辺形）ができる。
③ 三角形Bで、h：3＝5：8だから、h＝15/8＝1.875。
④ 本来、hは[2]なければならないから 2－l.875＝0.125 足りない。
つまり、ここでの隙間の巾は[0.125]。1マスを1cmとすると1mm余りだから、図で確認することはなかなか難しい。
⑤ △PSTの面積は 5×13÷2＝32.5。
⑥ 三角形Aと四角形Cとの面積は、それぞれ 3×8÷2＝12 と (3＋5)×5÷2＝20 とで、両方合わせて 12＋20＝32。だから、隙間の下半分は 32.5－32＝0.5 になる。同様に、上半分も[0.5]になり、隙間全体では 0.5×2＝1 となる。これが増えた[1]の正体（PQSR四辺形）となる

[1] 減るケースもある

上例を [8]→[13]、[5]→[8]、[3]→[5]とフィボナッチ数列の値を１つずつ大きい値に置き換えると、元の正方形の面積は 13×13＝169 だが、並べ替えた長方形の面積は 21×8＝168 となって、こんどは[1]減る。
13×13の正方形のケースでは、
隙間ではなく重なりができ、この部分が消えた[1]の正体となる。説明図は下図下段。

📖 本稿は次の文献を参考にしました。
数,数,・・・：不思議なふるまい (Numbers at Work and at Play)
M.ラインズ著：片山孝次訳、岩波書店1989

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ルイス・キャロル(Lewis Carroll：1832～98)は、
「不思議の国のアリス」(1865)の作家として知られています。本名はチャールズ・ラトウィッジ・ダッジソン(Charles Lutwidge Dodgson)で、オックフォード大クライスト・チャーチ・カレッジの数学講師で、論理学者、写真家、詩人でもあった多才な人です。

この「キャロル(L.Carroll)のマジック」は「黄金分割と数列の話」、フィボナッチ数列と黄金分割について書かれた味村ノートの一文からの抜粋編集をしたものです。従って文責はPi-3 talksにあります。